使ったことがないですが、一日2370円でJRの
普通電車・快速が乗り放題の青春１８切符で旅に出るのもよいかなと思います。
・18きっぷ概要
5回分で11850円で買えます。
参考：利用期間
春：平成27年3月1日～平成27年4月10日
夏：平成27年7月20日～平成27年9月10日
冬：平成27年12月10日～平成28年1月10日
使わなかった回数分は金券屋に売れるので、5回分使わなくて大丈夫です。
首都圏は物価や家賃が高めなので、移住先探しもかねて
ほぼ未踏の地の関西方面（主に大阪の都心あたり）が良いかなと思ったりしてます。
他の移住先の候補地は札幌、福岡、那覇あたりですが、
大阪以外はLCC（飛行機）のほうが早いし安いので、
青春18切符の旅向きではないですね。
大阪まで普通列車だと10時間前後ですかね。
高速バスより安いし、途中下車できるし。
朝から乗れば１８切符一枚で到着できるでしょう（往復で2枚）。
心配なのが混んでて座れなかったり、お尻が痛くて途中で挫折するかもしれないことです。
混雑を避けて平日メインで移動するとよいんでしょうね。
都市部を観光して、スーパー等の食品物価や図書館、
公園、都心部の様子、不動産相場など、移住の情報を調べて、
あとは食べ歩きする感じでそこそこ楽しめそうです。
泊まり先はネットカフェだと寝心地が悪すぎるので、
西成周辺の2千円くらいの安ホテル（3畳くらいの個室）が
良さそうです。
最近はネットでも予約できるようです。
これだと5泊程度で、
往復切符5千円、宿泊費1万、娯楽費・食費1万5千(一日3千円）で、
3万円あれば大丈夫でしょう。ちょっと使いすぎか？
と、ここまで検討したのですが、
体調的に長時間電車は厳しそうとおもい、
決行を踏みとどまっている感じです。
体調悪いまま行くよりは、ほかの贅沢に3万残しておいたほうが良いですしね。